Числовые квадраты — та часть «Шамс аль-Маариф», которую можно проверить целиком и без всякого доверия к традиции. Здесь работает арифметика, и переписчик, испортивший клетку, ловится за руку за полминуты. Арабское название — вафк (мн. аусаф, авфак), от корня со значением «согласие, соответствие»: квадрат называется так, потому что в нём всё согласовано — строки, столбцы и диагонали дают одну сумму.

Что такое вафк

Квадратная сетка из n клеток по стороне. В клетках стоят числа так, что сумма по любой строке, любому столбцу и обеим диагоналям одна и та же. Эту сумму называют постоянной квадрата.

Для квадрата порядка n, заполненного числами от 1 до n², постоянная считается по формуле n(n²+1)/2. Отсюда весь ряд, которым книга пользуется:

Семь порядков — семь планет. Соответствие в бунианском корпусе и в наследующей ему латинской традиции одно: 3 — Сатурн, 4 — Юпитер, 5 — Марс, 6 — Солнце, 7 — Венера, 8 — Меркурий, 9 — Луна.

Квадрат тройки

Простейший и самый ходовой. Единственный по существу вариант с числами 1–9 (остальные семь получаются поворотом и отражением):

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Каждая строка, каждый столбец и обе диагонали дают 15. В центре стоит пятёрка — и вся арабская литература о квадратах на этом задерживается: центр держит сумму, потому что 5 есть треть от 15.

Будух

Из этого квадрата растёт самый известный талисманный знак арабского мира — будух. Возьми клетки с чётными числами: 2, 4, 6, 8 — они стоят по углам. По абджаду 2 — ба, 4 — даль, 6 — вав, 8 — ха (ح). Сложи в порядке возрастания: ба-даль-вав-ха, БДУХ. Слово это ничего не значит по-арабски: оно рождено квадратом, а не языком.

Будух в кубра и во всей бытовой практике идёт прежде всего на две вещи: облегчение родов и сохранность груза в пути. Пишут его либо четырьмя буквами, либо полной сеткой из девяти чисел, либо цифрами по-арабски. Он же встречается вышитым, отлитым, вырезанным на кольце. Это, пожалуй, единственный элемент книги, ушедший в быт настолько, что многие носящие его о книге не слышали.

Квадрат четвёрки

Юпитеров, постоянная 34:

4 14 15 1

9 7 6 12

5 11 10 8

16 2 3 13

Проверь сам: строки 4+14+15+1, 9+7+6+12, 5+11+10+8, 16+2+3+13 — все по 34. Столбцы 4+9+5+16, 14+7+11+2, 15+6+10+3, 1+12+8+13 — тоже. Диагонали 4+7+10+13 и 1+6+11+16 — снова 34. В этом квадрате сходится вдобавок сумма четырёх центральных клеток и сумма четырёх угловых.

Квадрат пятёрки

Марсов, постоянная 65:

17 24 1 8 15

23 5 7 14 16

4 6 13 20 22

10 12 19 21 3

11 18 25 2 9

Строится он по правилу, которое известно как индийский, или сиамский, способ и годится для всякого нечётного порядка. Единицу ставишь в середину верхней строки. Дальше идёшь по диагонали вверх и вправо, выходя за край — возвращаешься с противоположной стороны, как на обёрнутой поверхности. Если клетка занята, вместо диагонального хода делаешь шаг вниз. Так до последнего числа.

Тем же способом получается квадрат семёрки с постоянной 175:

30 39 48 1 10 19 28

38 47 7 9 18 27 29

46 6 8 17 26 35 37

5 14 16 25 34 36 45

13 15 24 33 42 44 4

21 23 32 41 43 3 12

22 31 40 49 2 11 20

и квадрат девятки с постоянной 369. Чётные порядки строятся другими приёмами: у четвёрки, восьмёрки и прочих кратных четырём — способом перестановки диагоналей, у шестёрки — сборкой из четырёх квадратов тройки с последующим обменом клеток.

Квадрат под заданное число

Всё сказанное — только заготовка. Книге нужен квадрат не с постоянной 15, а с постоянной, равной числу имени. Способов два, и оба честные.

Первый: сдвиг. Прибавь ко всем клеткам одно и то же число — постоянная вырастет на n этого числа. Имя Аллах даёт по абджаду 66. Разность 66 − 15 = 51, делим на 3, получаем 17. Прибавь 17 к каждой клетке квадрата тройки:

21 26 19

20 22 24

25 18 23

Строки, столбцы и диагонали дают 66. Так же для имени аль-Латиф, число которого 129: разность 129 − 15 = 114, делённая на 3, даёт 38, и квадрат выходит такой:

42 47 40

41 43 45

46 39 44

Постоянная 129 по всем восьми линиям.

Ограничение способа очевидно: разность должна нацело делиться на порядок. Для тройки годится всякое число, кратное трём после вычитания пятнадцати, то есть кратное трём вообще. Не делится — берут квадрат другого порядка или переходят ко второму способу.

Второй: квадрат из букв. Вместо чисел от 1 до n² в клетки ставят сами числовые значения букв имени, повторяя их так, чтобы в каждой строке, каждом столбце и обеих диагоналях стояли все буквы по одному разу. Тогда всякая линия даёт полное число имени.

Имя аль-Карим — каф 20, ра 200, йа 10, мим 40, вместе 270. Раскладка:

20 200 10 40

10 40 20 200

40 10 200 20

200 20 40 10

Строки по 270. Столбцы: 20+10+40+200, 200+40+10+20, 10+20+200+40, 40+200+20+10 — все по 270. Диагонали 20+40+200+10 и 40+20+10+200 — тоже. В настоящем талисмане на месте чисел стоят сами буквы; числа здесь — только для проверки.

Этот способ и есть основной в книге, потому что он не требует делимости и потому что в клетках оказываются буквы имени, а не посторонние числа.

Как квадраты портятся

Переписчик копирует сетку с цифрами, смысла которых не держит в голове. Отсюда типовые повреждения: перепутанные соседние клетки, потерянная цифра в двузначном числе, зеркально снятая сетка, пропущенная строка при переносе на другую страницу. В печатных изданиях кубра порченые квадраты встречаются регулярно, и в разных изданиях порчены разные.

Отсюда правило, которое стоит принять как безусловное. Всякий квадрат из книги проверяй сложением, клетку за клеткой, прежде чем брать в работу. Не сошлось — не «тайный вариант» и не «скрытый ключ», а типографский или писцовый брак. Восстанавливай по арифметике: чаще всего испорчена одна клетка и её значение однозначно вычисляется из строки и столбца.

Это единственное место в книге, где у тебя есть независимый критерий истины. Печати и начертания проверить нечем, имена ангелов — тоже. Квадрат либо сходится, либо нет.