Числовой квадрат — единственная часть амулетного ремесла, которую можно проверить арифметикой и построить с нуля, ничего ни у кого не спрашивая. Здесь нет ни закрытой передачи, ни спорных чтений: есть правило построения, есть контрольная сумма, есть проверка. Разбираем построение полностью, а заодно — откуда эти сетки пришли к евреям и что с ними делают на камеот.
Что считается квадратом
Сетка из n строк и n столбцов, в которую вписаны все числа от 1 до n² по разу, так что сумма по каждой строке, каждому столбцу и обеим главным диагоналям одинакова. Эта сумма называется постоянной квадрата и считается по формуле n·(n²+1)/2.
Для порядков, которые реально встречаются на амулетах:
- 3×3 — постоянная 15, сумма всех чисел 45;
- 4×4 — 34, сумма 136;
- 5×5 — 65, сумма 325;
- 6×6 — 111, сумма 666;
- 7×7 — 175, сумма 1225;
- 8×8 — 260, сумма 2080;
- 9×9 — 369, сумма 3321.
Квадрата порядка 2 не существует, и это доказывается за минуту перебором — оттого счёт всегда начинают с тройки.
Почему за это ухватились
Совпадения постоянных с гематрией в еврейской традиции не могли пройти мимо, и они действительно бросаются в глаза.
- 15 — сумма букв йод и хе, то есть половины четырёхбуквенного имени. Отсюда особый статус тройного квадрата. Кстати, из-за этой же гематрии числа 15 и 16 в еврейской записи пишут не как «десять плюс пять», а иначе — чтобы не выписывать половину имени на ценнике.
- 45 — сумма всех чисел тройного квадрата и одновременно наполнение четырёхбуквенного имени через алеф, уровень Ма.
- 65 — постоянная пятого порядка и точная сумма букв слова Адонай: алеф 1, далет 4, нун 50, йод 10.
- 111 — постоянная шестого порядка и сумма букв слова «алеф», записанного полностью: алеф 1, ламед 30, пе 80.
- 175 — постоянная седьмого порядка и число лет жизни Авраама.
- 260 — постоянная восьмого порядка, ровно десять раз по 26, то есть десятикратное четырёхбуквенное имя.
Насколько эти совпадения содержательны — вопрос веры. Насколько они проверяемы — вопрос арифметики, и тут всё сходится точно.
Откуда они взялись
Квадраты — не еврейское изобретение. Тройной квадрат известен в Китае под именем «ло шу» задолго до нашей эры; развитая теория построения квадратов любых порядков появляется в арабской математике IX–XI веков, где они называются вафк аль-аадад, «согласование чисел», и Сабит ибн Курра с продолжателями описал методы для нечётных и чётных порядков.
В еврейские тексты квадраты входят вместе с остальной арабской учёностью, через испанских и провансальских авторов XII–XIV веков, сперва как математика и лишь потом как амулетный материал. Привязка семи квадратов к семи планетам — от Сатурна к Луне, от третьего порядка к девятому — тоже арабская по происхождению; в Европе её закрепил Агриппа, и уже из европейских книг она вернулась в поздние еврейские амулетные сборники. Квадрат на камее — элемент заимствованный и поздний, стоящий рядом с именами, которые старше его на тысячу лет.
Построение: нечётные порядки
Метод, который в литературе называют сиамским. Работает для любого нечётного порядка.
- Поставь 1 в середину верхней строки.
- Следующее число ставь на клетку вверх и вправо от предыдущего.
- Если ушёл за верхний край — вернись в ту же колонку в нижнюю строку. Если за правый — вернись в ту же строку в левую колонку. Сетка замкнута, как поверхность бублика.
- Если клетка вверх-вправо занята — поставь число прямо под предыдущим и продолжай.
- Так до n².
Тройной квадрат по этому правилу выходит такой (строки через косую черту): 4 9 2 / 3 5 7 / 8 1 6. Сумма по строкам, столбцам и диагоналям — 15; пятёрка всегда в центре.
Пятый порядок: 17 24 1 8 15 / 23 5 7 14 16 / 4 6 13 20 22 / 10 12 19 21 3 / 11 18 25 2 9. Сумма — 65, тринадцать в центре. Проверь пару строк и диагональ — сойдётся.
Седьмой и девятый строятся тем же ходом, без изменений в правиле.
Построение: порядок, делящийся на четыре
Для четвёртого, восьмого и двенадцатого порядков есть приём ещё короче.
- Впиши числа от 1 до n² подряд, слева направо и сверху вниз, как читают книгу.
- Отметь клетки на обеих главных диагоналях.
- Каждое отмеченное число замени на его дополнение до n²+1. Для четвёртого порядка это 17 минус число.
Получается: 16 2 3 13 / 5 11 10 8 / 9 7 6 12 / 4 14 15 1. Сумма — 34. Это и есть тот квадрат, который в амулетных книгах приписан Юпитеру и ставится на камеот на заработок и на благоволение сильных.
Порядок, делящийся на два, но не на четыре
Шестой и десятый — самые трудные, и общего короткого правила для них нет. Строят их составным способом: сетку делят на четыре квадрата нечётного порядка, каждый заполняют сиамским методом со сдвигом, а затем меняют местами несколько столбцов по фиксированной схеме. В амулетных книгах это изложение обычно опускается — квадрат просто перерисовывают из готового. Отсюда следствие: шестой квадрат на амулетах чаще всего скопирован, а не построен, и ошибки встречаются именно в нём.
Как квадрат попадает на камею
Порядок работы такой.
- Выбор порядка. По задаче через планетную привязку: третий — Сатурн, ограничение и связывание; четвёртый — Юпитер, достаток и покровительство; пятый — Марс, сила и тяжба; шестой — Солнце, слава и здоровье; седьмой — Венера, милость и союз; восьмой — Меркурий, слово, торговля, учение; девятый — Луна, дорога, сны, скрытое.
- Запись буквами. Числа на еврейском амулете пишут не цифрами, а буквами: алеф 1, бет 2, йод 10, каф 20, кав сотен — куф 100, реш 200, шин 300, тав 400. Квадрат при этом выглядит как буквенная сетка, и неопытный глаз принимает его за имя.
- Обрамление. По углам и по краю ставят имена — ангельские, реже сочетания большого имени. Сам квадрат остаётся нетронутым.
- Печать. Рядом с квадратом в поздних сборниках рисуют знак-печать соответствующей планеты. Эти начертания копируются из книги; строить их самому нельзя, и никакой чертёж, придуманный на месте, канонической печатью не является. Про знаки — в статье о харахтерес.
Буквенные сетки, которые квадратами не являются
Их путают постоянно, а разница существенная. Блок сорока двух букв — семь строк по шесть — никакой суммы не даёт: это имя, разложенное по строкам. Сетка семидесяти двух сочетаний — тоже не квадрат, а выборка из стихов Исхода. Двести тридцать одни врата «Сефер Йецира» — перечень всех пар букв алфавита, а не сетка. Латинский квадрат из пяти слов, читающийся одинаково в четырёх направлениях, на поздних еврейских амулетах встречается, но пришёл из христианской среды.
Проверка
Это единственный элемент камеа, который покупатель может проверить сам, и делается это за пять минут. Пересчитай числа: каждое от 1 до n² должно встретиться ровно один раз. Сложи каждую строку, каждый столбец и обе главные диагонали — все суммы обязаны совпасть с постоянной.
Если сумма не сходится хотя бы в одной линии — перед тобой не квадрат, а рисунок квадрата. Такое встречается в готовой продукции регулярно: сетку перерисовывали с фотографии, буква смазалась, и никто не проверил. Мастер, который построил квадрат сам, ошибиться не может — арифметика не даёт. Про то, как этот и другие признаки читаются на нынешнем рынке, — в статье о трезвом аудите камеот.