Квадрат четыре на четыре — рабочая лошадь арабской талисманной традиции: он строится в две минуты, легко принимает четырёхбуквенное имя и чаще прочих встречается на амулетах. Дальше идут порядки от пяти до девяти, у каждого свой метод построения и своя планета. Здесь — построение всех, с числами и с проверкой.

Четыре на четыре: метод диагоналей

Постоянная 34, сумма всех клеток 136, планета Юпитер.

Построение самое простое во всей серии:

  1. Выпиши числа от 1 до 16 подряд, строками слева направо.
  2. Отметь клетки, стоящие на двух главных диагоналях: это 1, 6, 11, 16 и 4, 7, 10, 13.
  3. Отмеченные оставь на месте, все остальные замени дополнением до семнадцати: вместо x поставь 17 − x.

Получается:

Проверка: строки 1+15+14+4, 12+6+7+9, 8+10+11+5, 13+3+2+16 — по 34; столбцы 1+12+8+13, 15+6+10+3, 14+7+11+2, 4+9+5+16 — по 34; диагонали 1+6+11+16 и 4+7+10+13 — по 34.

У этого квадрата есть свойства сверх обязательных, за которые его и любят: по 34 дают также четыре угла, центральный блок из четырёх клеток и каждый из четырёх угловых блоков два на два. Проверь на угловом: 1+15+12+6 = 34.

Квадрат из четырёх букв имени

Отдельный и очень ходовой приём: четыре числовых значения букв имени расставляют так, чтобы каждая линия давала полное значение имени. Обозначим значения букв a, b, c, d.

Каждая строка содержит все четыре значения. Каждый столбец — тоже: первый даёт a+c+d+b, второй b+d+c+a, и так далее. Обе диагонали: a+d+b+c и d+a+c+b. Все линии равны сумме имени.

Пример. Имя Мухаммад: мим 40, ха глубокое 8, мим 40, даль 4, сумма 92. Подставляем a=40, b=8, c=40, d=4:

Каждая строка, каждый столбец и обе диагонали дают 92. В рукописях такой квадрат пишут не числами, а самими буквами — и тогда амулет выглядит как поле из четырёх повторяющихся литер. Так собрано большинство буквенных квадратов на арабских оберегах, и их устройство читается сразу, если знать этот приём.

Заметь разницу с предыдущим способом: здесь числа повторяются, и это не порча квадрата, а другой его тип. Классическая комбинаторика требует различных чисел от 1 до n², талисманная практика такого требования не имеет — ей нужна согласованность линий и связь с именем.

Сдвиг на постоянную и его предел

Приём из статьи о квадрате три на три работает и здесь: прибавка c ко всем клеткам поднимает постоянную на n умножить на c, то есть на 4c. Значит c = (V − 34) / 4.

Ограничение то же и оно заметное: значение имени должно давать целое c. Для имени Мухаммад с его 92 получается (92 − 34) / 4 = 14,5 — не подходит. Отсюда и распространённость буквенного метода: он работает при любом значении имени, потому что не требует делимости.

Обходные ходы, встречающиеся в тетрадях: посчитать имя с артиклем или без, чтобы сдвинуть число; взять другой порядок квадрата; распределить остаток не поровну, а по строкам, добавляя разные величины к разным строкам так, чтобы столбцы сошлись, — последнее ломает диагонали и требует пересчёта.

Пять, семь, девять: лесенка

Нечётные порядки строятся одним и тем же методом, тем самым, что описан для квадрата три на три. Ставишь единицу в середину верхней строки, каждое следующее число — на клетку вверх и вправо, с переходом на противоположную сторону при выходе за край; если клетка занята, ставишь число прямо под предыдущим.

Пять на пять, постоянная 65, планета Марс:

Проверка: 17+24+1+8+15 = 65, столбец 17+23+4+10+11 = 65, диагональ 17+5+13+21+9 = 65, вторая диагональ 15+14+13+12+11 = 65.

Семь на семь — постоянная 175, планета Венера. Девять на девять — постоянная 369, планета Луна. Оба строятся тем же ходом; в центре у обоих оказывается среднее число ряда, 25 и 41 соответственно, а в квадрате пять на пять — 13. Это общее свойство нечётных квадратов, построенных лесенкой: центр равен среднему арифметическому всего ряда, то есть постоянной, делённой на порядок.

Восемь на восемь: дополнение по диагоналям

Порядок восемь — Меркурий, постоянная 260, сумма 2080. Метод тот же, что для четырёх, только разметка крупнее: квадрат делят на четыре блока четыре на четыре, в каждом отмечают его собственные главные диагонали, числа от 1 до 64 выписывают подряд, отмеченные оставляют, остальные заменяют дополнением до 65. Проверка простая: любая строка и любой столбец дают 260.

Тот же приём годится для любого порядка, кратного четырём: двенадцать, шестнадцать. С дополнением считают до n² + 1.

Шесть на шесть: трудный случай

Порядок шесть — Солнце, постоянная 111, сумма всех клеток 666. Это единственный в рабочей серии «одинарно-чётный» порядок: он делится на два, но не на четыре, и ни лесенка, ни диагональное дополнение к нему не применимы. Строится он сложнее — либо составлением из четырёх квадратов три на три с последующим обменом отдельных клеток между блоками, либо методом рамок.

Метод рамок стоит назвать отдельно, потому что это самостоятельное достижение арабской математики. Идея: берут готовый квадрат меньшего порядка, обводят его ободом клеток и подбирают числа обода так, чтобы согласованность сохранилась. Наращивая обода, получают квадраты любого порядка. Трактаты о построении таких квадратов писались как чистая комбинаторика, без всякого упоминания планет и талисманов, и хронологически они старше талисманных сборников, где квадраты уже расписаны по планетам.

Что с этим делают дальше

Порядок квадрата определяется планетой задачи, планета — днём и часом работы, стихия — материалом и цветом; всё это разобрано в статье о вафке вообще. Практический порядок для четырёх на четыре: Юпитер, четверг, час Юпитера, дела о суде, начальстве, покровительстве, достатке и добром имени. Пишут на бумаге, серебре или латуни, носят при себе, вкладывают в письмо, вешают в лавке.

Слова, читаемые при написании, берут из готового: имена Бога из канонического перечня и коранические тексты по имени и номеру суры. Придуманная арабская формула тут была бы подделкой, поэтому в статье её нет — есть только указание, откуда берётся слово.

И повторим границу, о которой нельзя забывать: изготовление талисмана строгие правоведы относят к запрещённому, а сторонники науки букв — к дозволенным «свойствам», ссылаясь на то, что действуют имена Бога и счёт, а не призыв к тварным силам. Спор идёт тысячу лет и не разрешён; здесь он назван как факт о традиции, а не как приговор практике.