Вафк — числовой квадрат, у которого суммы по всем строкам, всем столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Слово значит «согласие, соответствие», и смысл названия буквальный: клетки согласованы между собой. В арабской традиции это главный носитель талисманной работы — квадрат пишут на обереге, на чаше, на серебряной пластинке, и его порядок определяется задачей.
Устройство и счёт
Квадрат порядка n содержит n² клеток, в которые ставят числа от 1 до n². Постоянная сумма считается по формуле: n умножить на (n² + 1) и разделить пополам. Сумма всех чисел квадрата — n² умножить на (n² + 1) и разделить пополам.
Отсюда полный ряд рабочих квадратов:
- три на три — постоянная 15, сумма всех клеток 45;
- четыре на четыре — 34 и 136;
- пять на пять — 65 и 325;
- шесть на шесть — 111 и 666;
- семь на семь — 175 и 1225;
- восемь на восемь — 260 и 2080;
- девять на девять — 369 и 3321.
Семь порядков, семь планет. Соответствие сквозное и в рукописях устойчивое: три — Сатурн, четыре — Юпитер, пять — Марс, шесть — Солнце, семь — Венера, восемь — Меркурий, девять — Луна. Порядок счёта здесь тот же халдейский, от самой дальней планеты к самой близкой, и это единственная причина, по которой Сатурну достался самый маленький квадрат.
Планета определяет и день с часом работы, и материал, и задачу. Сатурн — удержание, связывание, стойкость, тяжёлые дела; Юпитер — суд, начальство, достаток, покровительство; Марс — отражение, война, изгнание; Солнце — власть, слава, здоровье; Венера — любовь, согласие, красота; Меркурий — речь, торговля, письмо, учение; Луна — путь, сны, вода, дети.
Откуда это пришло
Математика квадратов у арабов появилась раньше их талисманного применения и развивалась независимо. Уже в X веке существовали общие методы построения квадратов нечётного порядка и квадратов с рамками — метод, при котором квадрат наращивают слоями, как луковицу, и каждый новый обод согласуют с внутренним. Этой темой занимались серьёзные математики, и трактаты о построении квадратов писались как чистая комбинаторика, без всякого упоминания планет.
Параллельно шла вторая линия. Энциклопедический свод «Раса’иль Ихван ас-Сафа», составленный в X веке, увязывает квадраты от трёх до девяти с планетами и говорит о свойствах чисел — там смыкание уже произошло. К эпохе аль-Буни планетная привязка стала общим местом талисманных сборников, и в больших редакциях «Шамс аль-Маариф» квадраты занимают целые разделы. Ибн Хальдун в «Мукаддиме» описывает эту практику подробно и относит её к сихру.
Из арабского мира квадраты попали в Европу вместе с астрологической литературой, и латинские «планетные таблицы» ренессансных книг — прямые потомки арабских авфак с тем же порядком соответствия планет.
Как квадрат делают рабочим
Базовый квадрат с числами от 1 до n² — заготовка. Чтобы он стал талисманом под задачу, его привязывают к имени.
Способ первый: сдвиг на постоянную. Если прибавить одно и то же число ко всем клеткам, квадрат останется согласованным, а постоянная вырастет. Для квадрата порядка n прибавка c поднимает постоянную на n умножить на c. Значит, чтобы получить нужную сумму V, берут c = (V − базовая постоянная) / n. Пример считается в уме: имя Бога «Аллах» имеет числовое значение 66; для квадрата три на три c = (66 − 15) / 3 = 17, и после прибавки семнадцати к каждой клетке все линии дают 66. Метод работает, только если разность делится на n нацело; иначе берут другой порядок квадрата или другой способ.
Способ второй: квадрат из букв имени. Числовые значения букв имени ставят в клетки так, чтобы каждая строка и каждый столбец давали полное значение имени. Для четырёхбуквенного имени это делается всегда и разобрано в статье о квадрате четыре на четыре.
Способ третий: смешанный. В центральную клетку или в углы ставят буквы имени, а остальное поле заполняют числами, добирая до нужной суммы. Так собраны многие квадраты в рукописях, и по этой причине два «квадрата одного имени» из разных тетрадей выглядят по-разному, оставаясь оба верными.
Что пишут в клетках
Три варианта, все три встречаются:
- Цифры — индийские, теми же знаками, что в современном арабском письме.
- Буквы — числовое значение записано буквой абджад. Так квадрат выглядит как поле букв, и по нему сразу не видно, что это счёт.
- Смешанно — буквы имени в части клеток, числа в остальных.
Отдельно стоит порядок написания клеток. Рукописи предписывают заполнять квадрат не подряд, а в определённой последовательности — в той, в какой числа выводятся построением. Логика здесь та же, что в любом чине: собирают в порядке сборки, а не как удобно руке.
Носитель, время, условия
Практическая обвязка стандартна и повторяется от книги к книге.
- Носитель по планете. Бумага и пергамент — общий случай; серебро для Луны и Венеры, железо для Марса, свинец для Сатурна, золото или латунь для Солнца. Пишут также на ткани, на чаше, откуда потом пьют воду, смывшую написанное, — это ходовая лечебная практика.
- Чернила. Обычные, а для «чистых» работ — шафранная вода с розовой водой, дающая жёлтое письмо. Составов с ядовитыми веществами старые тетради тоже содержат, и они здесь не воспроизводятся: это не осторожность, а разумность.
- Время. День планеты и её час. Час считается от восхода: светлое время делят на двенадцать, темное на двенадцать, первый час дня принадлежит планете-хозяину дня, дальше по халдейскому кругу. Астрологическая обвязка бывает жёстче: избегают ретроградного Меркурия, сожжения планеты, дурных аспектов.
- Состояние. Ритуальная чистота, омовение, чистая одежда, обращение к кибле, часто пост и уединение на срок работы, курение по планете.
- Счёт чтения. Имя, к которому привязан квадрат, читают положенное число раз — по значению имени либо по его квадрату.
Слова при этом берутся из готового: имена Бога из канонического перечня и коранические тексты, называемые по имени и номеру суры. Сочинённая формула на арабском здесь была бы подделкой, поэтому текста «под задачу» в этой подрубрике нет и быть не может — есть указание, откуда его берут.
Богословская рамка и трезвая часть
Квадраты — самая невинная с виду часть науки букв и одновременно та, на которую ссылаются обе стороны спора. Сторонники говорят: здесь нет призыва к тварным силам, есть счёт и есть имена Бога. Противники отвечают, что изготовление предмета, от которого ждут действия, есть тилясм, а талисман большинством строгих правоведов отнесён к запрещённому. Средняя и распространённая позиция признаёт только чтение Корана над больным, без предметов. Спор не разрешён, и статья излагает его как факт о традиции.
Трезвое замечание о самой математике: согласованный квадрат — объект комбинаторики, и его существование ничего не доказывает о действии. Числовые квадраты строятся для любого порядка от трёх и выше по общим правилам, и красота построения — свойство арифметики, а не свидетельство силы. Именно поэтому арабские математики занимались ими отдельно от талисманщиков, и разбирать построение имеет смысл целиком и открыто, что и делается в следующих статьях.